第一章 概率与随机
炉石是一款运气游戏这好像是大家的共识 这游戏到底是不是运气游戏我们以后再探讨 所谓运气游戏就是说这游戏充满了各种随机性 起手 摸牌 飞刀 25仔 奥弹 门 砰砰博士的两个蛋蛋 各种随机性
经常有人问我说炉石里啥啥概率怎么算 这类问题最经典的就是奥弹打死精灵龙的概率 这个问题起源于炉石刚内测时法爷的强大 大家纷纷带精灵龙针对 当时贴吧漫山遍野的问这个问题 以及求削弱精灵龙
OK 我稍微回答一下这个问题好了 当然我们假设对面英雄血量超过3 对方场上只有精灵龙 己方场上没有法伤火妖之类的牌 最简单的求法是你假设精灵龙有3血或者更多 但是只要受2点伤害就会死 由于精灵龙吃到2发奥弹后无法再吃 这个假设是不影响求解的 于是奥弹打脸0或1精灵龙死 打精灵龙0或1则不死 由对称性这答案是二分之一 不需要1秒就能算出来
对于经常得到的3分之一 7分之3 我只想说 用乘法原理这种答案在0.00001秒内就可以排除
下面这段写给高中生 学概率论第一章的大学生 以及所有感兴趣的玩家 我尽量说的详细 保证人人都能看懂
我们稍微复杂一下问题 万一场上有血法（没有用狗头代替）蓝龙 火妖 什么丛林枭兽 加个恩泽 易建联buff过的 对面万一是欢笑姐妹 姐夫 黑暗教徒圣殿加过血 或进行过随从交换 你丢的万一是机关枪或者10费的那张不知道啥玩意 OK 总之就是对面场上有且只有一个n血的随从 你打了一发随机m点的伤害 对面英雄血量足够多（就是大于等于m 小于m的有兴趣自己算）打死那个随从概率是多少 当然m到大于等于n 不然就是0 我们分析一下这个问题 一发随机伤害打出去 打脸打随从各是二分之一 如果随从死亡了 那只能以概率一打脸 因此不需要计算分母肯定是2的幂 然后我们考虑随从在第几发后刚好死亡 设为k 这个k大于等于n 也就是说k发之前各0.5打脸打怪 之后只能打脸 发生这事概率为2的k次幂分之一 然后这样的事件有多少呢 就是前面的k-1发有哪n-1发打怪了 所以是组合数（k-1 n-1）这个乘以2的k次幂分之一 再从n到m进行sigma求和就是答案
如果我算错了欢迎大家指正 毕竟我数学不太好 关键不能误人子弟
但是上面的答案是对的吗？其实严格上来说不对 哪里错了 关键在于奥弹打脸打怪是不是真的是二分之一
所谓的随机只是数学上的第一定义而已 一般对于古典概率空间 认为这些事发生的概率相等 然而 到目前为止 现实中并没有纯随机的例子 你就算抛硬币也是由硬币的造型 你的力度 空气的阻力 抛下的高度等等决定的 随之而来的问题是 电脑也没法产生随机事件
那么炉石是怎么决定你开的卡是金橙还是白卡 你起手摸的是肉酱还是伊瑟拉 奥弹干的是脸还是怪呢 伪随机数 就是一列0到1之间的数 伪随机数有很多的产生办法 我也只是略知一二 大家初中高中数学书后面会有的什么随机数表就是最简单的伪随机数
伪随机数就是大家说的发牌员
比如程序员可以写这随机数在0到0.5之间打脸0.5到1之间打怪 什么区间摸知识古树什么区间摸咆哮等等
这样就有一个几乎可以忽略不计的问题 一般而言其实你摸树人和摸咆哮的概率是不一样的（这个例子可能不对 取决于摸牌的程序是如何实现的 至少奥弹打两个精灵龙就会有这个问题） 因为计算机精度有限无法保存无限小数 所以对于因子不止2和5时就会出现不等可能的情景 但这个差距小到可以忽略
最大的问题和最大的机遇在于下面
刚才说过 伪随机数有很多产生办法 但是有个长度 这个长度之后就出现了循环（这就是为什么大家总说这局我看过的原因）不过据说现在的数学已经可以做到这个伪随机数列足够长到一个人在有生之年几乎无法用完这个数列 但炉石用的是啥我就不知道了
如果炉石用的是个固定的伪随机数列 那么好 当两个会玩的人对战时 发牌员决定好了所有的牌序（如果牌序是游戏开始之前就决定的话） 然后之后所有的随机事件 所以胜负几乎是决定好的（我们以后会说到只要是“会玩”的那么胜负就是决定好了（又发现不对 有随从站位和出场顺序的影响））我们只是一步步去实习那么开始就设定好的事情 你可以影响的只是改变随机事件发生的时间来扭转胜负 同时随从的站位和出场的先后顺序将至关重要！如果奥弹飞刀的目标是根据随从位置来标记时 站位将是关键 如果是根据随从出场顺序来标记的 先摇报告再下收割机还是先下收割机再摇报告又是关键 考虑到有个亡语结算的问题 我更相信是后者 所以不要随便怀疑别人的出牌顺序 说不定人家是看穿了发牌员！
但是如果炉石用的是别的伪随机数时 比如我知道c语言里有个由当前时间决定种子的伪随机数时 会有一个天大的机遇 想想暴雪的程序员 知道随机数是怎么个顺序 然后伪随机数是怎么转化成伪随机事件的 那么他可以在恰好的时间开包 包包出金橙 可以奥弹想打脸打脸想打怪打怪 元气弹发发打20 这游戏真不知道怎么输 细思级恐 所以烧绳是有道理的 捏着连环爆裂祷告也是有道理的 因为这样可以改变伪随机数种子而致胜
说了这么多其实都是废话 我们都不知道炉石的源代码 在我们不知道的这个条件下就是原来的古典概率空间 问题还是这么简单 上面算的概率都没有任何问题
既然如此 像文章开头快速计算至少是估算简单的概率是非常重要的 因为在这种充满随机性的游戏里 你必须选择使自己获胜概率最大的方式进行游戏 例如大家几乎每局都可能面对的如何处理砰砰博士的两个蛋蛋 这也就是暴雪爸爸经常说的虽然随机但是却可以体现技术的所在 然而我觉得这句话非常片面
因此 在炉石这个游戏里 你可以通过计算概率来提高你获胜的概率
希望上面的那些犊子能帮助大家理解我上一篇写的东西
此外 还有很多人抱怨我上一篇写的东西没有标点 对此我学吉安娜说声抱歉 而且我知错就改 于是我把标点都写在下面了 让大家看个够
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OK 我想这样大家就不会再抱怨我的文章没有标点了
还有一件事是 鄙人写的东西都是扯淡的 对大家打游戏没有任何帮助 也抄不到卡组 如果不合您胃口 请赶快关掉去各大论坛看攻略吧 以免浪费您的时间
但这些文字也花了我大量精力 只要有人愿意欣赏 能学到点什么 不管是游戏还是数学或者逻辑 那也不枉我一番工夫 我也很高兴看到各个论坛和门户网站转载我的文章 甚至辛勤的加上标点 我不图利 但求别那么标题党 我怕这么粗鄙的内容丢母校的脸
第二章 最优打法
玩游戏我们总会面临各种抉择 是上怪好还是解场好 是过牌好还是赌收割机好 是趴下好还是冲锋好 到底哪种抉择才是最好的 这就涉及到一个问题 是否存在最优打法
有人经常斩钉截铁的说存在唯一的最优打法 我不知道他有没有仔细想过这个问题 我大概觉得这个问题的答案是存在最优打法但是不唯一 也可能不对 我先这么说着 下面慢慢证明 如果发现不对 我再回头过来改 而且我估计这个问题会是我的系列里最难说明的 除非我狠下心打算证明炉石的确就是个运气游戏 但是并不涉及任何高深的数学 不会像上一篇一样那么难懂
我也没查过任何文献 不知道专业的或者业余的对此有过什么研究 但这是一个很有趣也很有意义的问题 我脚趾头想想肯定有人研究过 所以如有雷同 别算我学术不端 不过有的话 也肯定写的比我的好百倍千倍 所以也必然不屑说我抄袭
这里我们需要定义一下什么是最优打法 这就得看你玩游戏的目的是什么 是用牧师恶心死对面用战士疲劳死对面用盗贼爆对面的牌还是别的 这里我们只考虑你的游戏目的是获胜 赢！ 上传说打12胜拿冠军你都要赢 所以最优打法就是让你以最大概率获胜的打法 当然如果你看完这篇文章仔细想想 把最优打法换成爆对面最多的牌的打法时答案也是一样的
由于涉及到概率 我们显然需要如下的假设：我们对游戏的伪随机数一无所知（假设一） 我想这个假设对99.999%的玩家都是成立的
好 接下来的证明是显然的 由于玩家的打法是有限的 这是因为游戏会在60回合内结束 而玩家资源又是有限的（注1 写完后想想这里有问题 我们下面再提） 有限集当然可以取到上确界 但是又不一定是唯一的 证完了
如果文章写到这里肯定会有无数的人喷我了 不让我答辩通过 那我得找个解决办法 多拿点东西糊弄糊弄大家 证明我花了大量的心血来写这些 我决定把最优打法找出来给大家看
由于炉石这个游戏还是挺复杂的 我们一步步来实现算法
1st 我们假设游戏中没有换牌过程 没有任何包含随机性的卡牌和英雄技能（说的就是你萨满） 没有可以重洗牌库的牌 然后再假设玩家知道双方所有的手牌和牌库信息 也就是下张摸啥下下张摸啥都是知道的（这里的知道指的是a知道b的牌库信息 b知道a知道b的牌库信息 a知道b知道a知道b的牌库信息 以此类推 也就是说双方的牌库信息是公共知识 不同于共有知识 例如我直播打天梯 对手窥屏 那么他就知道我的手牌 我自然知道我的手牌 但是我不知道他知道我的手牌 他也不知道我知道不知道他知道我的手牌 于是我的手牌就是共有知识但不是公共知识 这里只是普及一下逻辑学概念 有兴趣的可以去看看红蓝眼悖论）
为了寻找最优打法 我们只需要把所有情况列出来 a在第一回合可能有若干种选择 每种选择下b可以作出若干种选择 如果在某个回合一个选手有取胜打法时 我们不再考虑其他打法 因为这肯定是最优的打法 依次类推 最后得到一个树状图 树的末端部分是a获胜部分是b获胜 如果我们倒推 如果a有可以不让b获胜的选择那么a肯定去选让b获胜的打法 这就是简单的序贯博弈 下图就是一个例子 因为说的可能不清楚 希望可以帮助大家理解
简单示例图用蓝色标记的才是ab会选择的打法 也就是最优打法 在上面的例子中 用蓝色标记的连通的路径就是最后会出现的打法 显然最优打法并不唯一
注意 在这个游戏里 一旦牌库洗好 只要双方都足够聪明 那么胜负已定 但是能否做到足够聪明呢？ 这就涉及到计算量的问题 比如围棋国际象棋计算量就非常大 所以这两个游戏可以流传 因为至今都没有研究透 如果按照我前面的算法 那么我们的计算量也会很大 但是应该可以证明若干引理证明一些打法明显不会更好 可以大大简化计算量（比如空过往往都不是好的选择） 所以这样的游戏肯定是不会流行的
2nd 我们把炉石中的随机性考虑进来 仍然假设明牌 不会导致牌库重洗的牌 没有换牌过程
现在的游戏过程将充满不确定性 当一个玩家打出25仔后局面将充满各种可能 那到底怎么样的打法才是最优的呢 其实跟1st中的做法是一样的 但是打出一张随机性牌后 当出现各种不同的节点（场景） 他们是以一定概率发生的 这里涉及到概率计算是建立在我们对伪随机不知情的假设之下 这些节点都是以一点概率发生的 用乘法原理就可以得到节点的分叉下的概率 再用1st中的方法 每个人肯定选择让自己以更高概率获胜的打法 当概率相同时 可以同为最优打法 这样我们最后又会得到最后的牌局过程
3rd 现在我们把明牌的条件去掉 卡牌游戏几乎都不是明牌的 这个会使情况很复杂 而且炉石不同于扑克和麻将 后两者在游戏中出现的牌是固定的 所以高手都是可以算出来其他人手上有什么牌 使得看似暗牌实则明牌 而且扑克更是没有抓牌过程 手牌是固定的那些
为了说明这个问题 我们引进贝叶斯统计里的一个概念 先验分布 或者说先验知识 也就是说你原先就有一个分布的假设 再根据得到的数据可以得到一个后验分布再来进行你的估计 举例说来 如果你在天梯遇到一个骑士 你可能认为这个骑士80%是佛祖骑 10%是鱼人骑 5%是中速骑 4%是神恩骑 1%是宇宙骑 当对面打出一张奥秘守护者时你才断定它是佛祖骑 然后它挂了一个奥秘 你会认为37.5%是挡刀 31.8%是复仇 18.6%是救赎 6.3%是争强好胜 5.7%是忏悔 0.1%是审判或者一眼还眼 这是先验分布 然后你变脸a了一下什么都没发生 那就不会是挡刀了 你就觉得62.4%是复仇 24.5%是救赎 7.2%是争强好胜 5.9%是忏悔 这就是后验分布 你对很多东西都有一个先验知识 对面手牌是怎样的分布 牌库里的牌是什么样的分布 传送门给的卡也有 等等 对面出张牌进行一个操作 甚至是一个犹豫都会改变你的认知 然后有一个后验知识 它也是你下一个调整判断的先验知识
有了上面的假设或者说是基础 我们还需要假设对于对手的先验后验知识调整一无所知（假设二） 那么3rd完全转化成2nd 只是确定的牌转化成了随机的牌 使用相同的方法就可以得到最优打法
这里有个问题 也就是注1提到的问题 如果我再看下面的说明4你就会发现 由于时间是连续的 对方的操作已经不再是一个有限集 这个问题在真人上特别突出 所以我们必须假设（假设三）玩家的后验知识只与对面选择的打法有关 这个假设其实也是合理的 特别是计算机层面上 如果双方玩家足够理性和机智（这还得是公共知识） 不考虑他们打牌需要的思考时间 那么必将不会被对手在几秒后打出牌 点了什么牌所迷惑 但是玩家并不一定足够聪明 即使如此这也不会是公共知识 所以我们下面进行的几点讨论说明是有意义的
但是我们这里忽略了对于先验后验知识的进一步讨论 怎么样的先验后验知识才是更优的呢 首先 事先情报收集影响先验知识的质量 比如你比赛遇到你的好友就很容易知道他会带什么因为他可能就会那么两个职业 但是遇到朝神就不知道他会带什么因为他什么都不会 而对于后验知识 我认为这是一个人炉石水平的重要组成部分 在不同的后验知识下最优打法可能截然不同 故而水平高的后验分布更接近真实分布 打法就更佳 表现出来胜率就更高 那是否存在最优的后验分布呢 我还没仔细想过这个问题 因为这会非常复杂 因为玩家可能通过较差的打法（这个说法有待商榷 只是为了说明下假设二的必要性）强行改变对手的后验知识 从而导致游戏进入一个完全不同的走向 反败为胜 这样最佳后验知识就变成一个笑话
我们上面大部分是从计算机的角度来考虑 对于真实人为操作 我认为以下几点还需要说明：
1. 我们都知道换牌是影响后验知识的 例如当年术士最强时代流行的看对面换几张牌策略 先看对面换牌 换的少的是动物园 换的多的是手牌术 等等 对于这些常识其实是可以利用的 如我在比赛或者天梯玩手牌术时 一看手牌不错 立刻进行换牌 让对面误以为自己是动物园 导致对面有一个偏离更远的后验知识 这也是我引进假设二的重要原因 不然一个换牌过程就研究不清 充满尔虞我诈
2. 严谨的说对于一张牌 起手留的和换上来的地位是不等的 刚摸的和在手上停了两回合的地位都是不等的 但是我不觉得有谁甚至在比赛时会去记录对手每一张手牌停留的回合数等等信息 对于自身来说 当你手上有两张一样的卡牌时 是用刚摸的还是滞留手上的 自带的还是衍生的 自己的还是盗取的 隐蔽的还是回收暴露的都是值得思考的 因为会导致对手不同的后验知识 而且我不觉得网上流传的打刚摸的那张有多佳
3. 有时候你可以故意暴露手牌 好友对战时故意告诉对面我有130让对面只有三个格子 不停的用一张指向性的卡牌比划让对面防你的横扫埋葬虽然可能只是愤怒和缩小 这些都是会改变对手的后验知识的 这种故意暴露或者是无中生有有时候可以为你带来胜利
4. 你的回合思考时间也是会改变对手后验分布的 正常而言打的快的说明手上抉择少 打的慢的可能可以花式解场或者有一定斩杀能力在计算 所以在比赛时候故意烧绳或者故意打快也是有作用的
5. 暂时想到这些 以后想到别的了我也是不会来补充的 留着当作看门心机 打比赛的我还是推荐多点心机 多发点表情干扰干扰对面要斩杀了故意不打想想下局用什么顺便气气对面也是很不错的 毕竟我干过这种事情要给自己找借口 虽然代价是在贴吧被喷的****** 如果只是打打天梯我想就算了 太累 毕竟游戏只是玩玩而已吗
6. 当我把这些发出去给大家看之后 我就更不会参加什么炉石比赛了 因为我的一些小花招变成了共有知识 经过我大量演算发现 这直接降低了我一大半的胜率 真是心疼我自己
说了这么多最优打法 也说了怎么求 但是能不能求呢 答案肯定是不能 因为我们连输入过程都无法完成 对战过程千变万化 带的卡牌千奇百怪 要怎么才能把我们在各个不同的境地下的先验（后验）知识输入呢？ 不可能 甚至我们连自己都不知道自己假定的分布是什么 反而要从最终的打法去估计自己假定的分布 即使我们完成了输入过程也可能因为由于计算量太大而无法计算 毕竟一个回合的时间只有90s 所以当你写出最优打法的程序后可能计算机也只是一个每回合烧绳过的***（去贴吧看是啥）
所以炉石的训练也是有必要的 你在玩一套卡组时你可以慢慢摸索出一种接近最优的打法 这也可以认为是最优打法的模拟求法 所以一个天天只玩防战的玩家一般来说比其他玩家更“精通”防战即使他水平很菜
看完上段的人肯定大呼上当 一个傻屌说了半天其实啥都没说 好吧 我想先举下面的例子
大概在2014年中段 一套脚本萨横扫天梯 固定的卡组 美服有人用这个脚本轻松上了传说 很不幸 我也输给过这个脚本 再提一句 是萨满 一个永远在崛起的职业 最终导致暴雪严打脚本 一堆账号被封停
